Подгруппа ― подмножество ${\displaystyle H}$ группы ${\displaystyle G}$, само являющееся группой относительно группового умножения на ${\displaystyle G}$.

Подмножество ${\displaystyle H}$ группы ${\displaystyle G}$ является её подгруппой тогда и только тогда, когда:

1. ${\displaystyle H}$ содержит единичный элемент из ${\displaystyle G}$
2. содержит произведение любых двух элементов из ${\displaystyle H}$,
3. содержит вместе со всяким своим элементом ${\displaystyle h}$ обратный к нему элемент ${\displaystyle h^{-1}}$.

В случае конечных и, вообще, периодических групп третье условие является следствием первых двух.